На сторонах BC и CD ромба ABCD взяты точки M и N соответственно, отличные от точек A, B, C и D. Оказалось, что треугольник AMN равносторонний, и при этом MN=AD. Найдите угол ABC.

Дано: ABCD — ромб, М ∈ ВС, N ∈ CD, ΔAMN — равносторонний, MN=AD.

Найти: ∠АВС.

Решение.

1) У равностороннего треугольника все стороны равны.

Значит, AM=MN=AN. Известно, что MN=AD => AN=AD => ΔDAN равнобедренный, ∠ADC=∠AND=x.

2) У ромба все стороны равны и противоположные углы равны.

∠АВС=∠ADC=x. То есть значение "х" и будет нашим ответом.

AB=AD=AN, AN=AM => AB=AM, ∠ABM=∠AMB=x.

3) У равностороннего треугольника все углы равны по 60°. Значит, ∠AMN=∠MNA=∠NAM=60°.

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°. Отсюда, ∠ADC+∠BAD=180°.

∠BAD= 180°–∠ADC= 180°–x.

5) Сумма углов каждого треугольника равна 180°. А это означает, что в ΔBAM ∠BAM= 180°–2x,

в ΔDAN ∠DAN=180°–2x,

откуда следует, что

∠BAM=∠DAN=180°–2x.

6) С пунктов 4 и 5 можем выразить угол BAD и таким образом найти значение "х".

∠BAD=180°–x.

∠BAD=∠BAM+∠DAN+∠NAM= 2(180°–2x)+60°.

Приравняем:

180°–х=2(180°–2х)+60°;

180°–х=360°–4х+60°;

–х+4х=360°+60°–180°;

3х=240°;

х= 80°.

х=∠АВС=80°.

ОТВЕТ: 80°.