Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8 корень3 . Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°.

ответ: V=768√2(ед³)

Объяснение: в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат поэтому все стороны основания равны по 8√3. Диагональ основания ВД делит его на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых стороны основания являются катетами а диагональ гипотенузой, а также диагонали пересекаясь делятся пополам, поэтому ВО=ДО=АО=СО. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в √2 раз поэтому ВД=8√3×√2=8√6.

ВО=ДО=8√6/2=4√6. Боковое ребро КД, высота КО и ДО образуют прямоугольный треугольник в котором КО и ДО - катеты, а КД - гипотенуза. Также угол КДО=60° и така как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол ДКО=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы поэтому гипотенуза КД=4√6×2=8√6

Найдём КО по теореме Пифагора:

КО²=КД²-ДО²=(8√6)²-(4√6)²=64×6-16×6=

=384-96=288;. КО=√288=12√2

Sосн=(8√3)²=64×3=192(ед²)

Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания по формуле: V=⅓×Sосн×КО=⅓×192×12√2=

=64×12√2=768√2(ед³)