Биссектриса, проведенная из острого угла А равнобедренной трапеции АВСD, делит боковую сторону СД точкой Е в отношении 2:3, считая от тупого угла. Биссектриса АЕ пересекает диагональ ВД в точке М и точкой пересечения делит ее пополам. Площадь треугольника MED равна 6. Найдите площадь трапеции.

ответ: 80

Объяснение: Заметим , что площадь треугольника MED  S(MED)=S(BCD)*(MD/BD)*(ED/CD)= 6

Отсюда находим S(BCD)=6/0.5/(3/5)=12/3*5=20

Заметим также, что поскольку АМ в треугольнике АВD  является и биссектрисой и медианой , то треугольник ABD равнобедренный, АВ=AD

Обозначим СЕ=2х, тогда DE =3x, CD=AB=AD=5x

Продлим отрезок АЕ за точку Е до пересечения с прямой BC в точке К

Тогда треугольники СКЕ и DAЕ подобны

CK/AD=CE/DE=2/3

CK=2/3*AD=10x/3

Треугольники ВКМ и DAM равны ( по стороне и двум углам).

BM=MD углы BMK =AMD=90 град ( по условию)

углы МВК=MDA ( накрест лежащие)

Тогда AD=BK=5x

Тогда ВС=ВК-СК=5х-10х/3= 5x/3

S(BCD)= BC*CD*sin(BCD)/2=20

5x/3*5x*sin(BCD)=40

25*x^2*sin(BCD)=120                          

S(ABD)=AB*BD*sin(BAD)/2                (1)

Так как по свойству трапеции BAD=180-ABC  и так как в равнобедренной трапеции АВС=BCD, => sin (BAD)=sin(BCD)

Перепишем (1):

S(ABD)=25*x^2*sin(BCD)/2=120/2 =60

Тогда площадь трапеции S(ABCD)=S(BCD)+S(ABD)=20+60=80