Пусть H – высота конуса и высота пирамиды, R – радиус основания конуса и радиус описанной около основания пирамиды окружности. Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса.
Объём конуса, и объём пирамиды вычисляются по формуле:
V = 1/3 Sосн·Н
Так как в основании конуса – круг, то Sосн. конуса = πR²
Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в основании – квадрат, следовательно Sосн. пирамиды = а²
Vп/Vк = 1/3 а²H / 1/3πR²H = а² / πR²
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали:
S = d²/2, d = 2R, S = (2R)²/2 = 2R², тогда:
Vп/Vк = а² / πR² = 2R² / πR² = 2/π
Так как по условию задачи объём конуса равен 3, то Vп/3 = 2/π, Vп = 6/π
ответ: а) 6/π
Пусть H – высота конуса и высота пирамиды, R – радиус основания конуса и радиус описанной около основания пирамиды окружности. Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса.
Объём конуса, и объём пирамиды вычисляются по формуле:
V = 1/3 Sосн·Н
Так как в основании конуса – круг, то Sосн. конуса = πR²
Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в основании – квадрат, следовательно Sосн. пирамиды = а²
Vп/Vк = 1/3 а²H / 1/3πR²H = а² / πR²
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали:
S = d²/2, d = 2R, S = (2R)²/2 = 2R², тогда:
Vп/Vк = а² / πR² = 2R² / πR² = 2/π
Так как по условию задачи объём конуса равен 3, то Vп/3 = 2/π, Vп = 6/π
ответ: 6/π