В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D, такая, что
AB = BD = DC. Отрезок DF – медиана треугольника BDC.Найти угол FDC, если

∠FDC = 55°.

Объяснение:

Опустим из точки B отрезок BD, чтобы показать равенство сторон AB, BD и DC. Этот отрезок разбил треугольник ABC на два других.

1. Рассмотрим ΔABD:

Т.к. по условию AB = BD ⇒ ΔABD - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

⇒ ∠BAD = ∠BDA = 70°.

2. Рассмотрим ΔBDC:

Т.к. по условию BD = DC ⇒ ΔBCD - равнобедренный.

Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и высотой, и биссектрисой.

⇒ медиана DF - биссектриса ∠BDC.

3. Рассмотрим равнобедренные ΔABD и ΔDBC:

∠BDA + ∠BDC = 180°, т.к. они смежные ⇒ ∠BDC = 180° - 70° = 110°.

Т.к. отрезок DF - биссектриса угла BDC, то ∠BDF = ∠FDC = 55°.