( )ОЧЕНЬ АВС-равнобедренный треугольник с основанием АС. Вне треугольника соответственно на лучах АВ и СВ лежат точки К и Е так,что ВК=ВЕ,точка О- середина основания. Докажите что треугольник ЕКО является равнобедренным.
​

1)Так как АВ = ВС и ВК = ВЕ => ЕС = АК.

∠А = ∠С, по свойству равнобедренного треугольника.

2)Рассмотрим треугольники СЕО и АКО:

АК = ЕС, из 1)

АО = ОС, так как О - середина.

∠А = ∠С, из 1).

=> треугольники СЕО и АКО равны, по 1 признаку равенства треугольников.

=> ЕО = ОК.

А так как ЕО = ОК => треугольник ЕКО - равнобедренный.

Ч.Т.Д.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ΔАВС - равнобедренный (АС - основание).

Точка К ∈ лучу АВ.

Точка Е ∈ лучу СВ.

ВК = ЕВ.

О - середина АС.

Доказать:

ΔЕКО - равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный. Соединим вершину В и точку О. ВО - медиана, проведённая к основанию, а значит, также, биссектриса ∠АВС (по свойству равнобедренного треугольника).

∠АВС = ∠ЕВК как вертикальные, и если мы продлим биссектрису ВО до пересечения стороны ЕК в точке М, то она также будет биссектрисой ∠ЕВК (так как биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой).

Рассмотрим ΔЕВК - равнобедренный (ВК = ЕВ по условию). ЕК - его основание, и к ней проведена биссектриса ВМ, а значит ВМ⊥ЕК и ЕМ = МК (ВМ - медиана и высота по свойству равнобедренного треугольника).

Рассмотрим весь ΔЕКО. Так как ОМ - медиана и высота одновременно, то ΔЕКО - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

ответ: что требовалось доказать.