Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди з висотою 4см і бічним ребром 5см.

Проекцией бокового ребра на основание будет радиус R окружности, описанной вокруг основания. Поэтому сразу находим R = корень(5^2 - 4^2) = 3.

высота треугольника (в основании пирамиды) равна h = R*3/2 = 9/2;

боковая сторона равна  a = h/sin(60) = корень(3)*3; 

площадь основания S = a*h/2 = корень(3)*27/4;

объем пирамиды V = S*H/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 = корень(3)*9

Технически безукоризненный из теоремы синусов

a = 2*R*sin(60) = 2*3*корень(3)/2 = корень(3)*3; a^2 = 27.

S = a^2*sin(60)/2 =  27*корень(3)/4;

V = S*H/3 = (корень(3)*27/4)*4/3 = корень(3)*9