В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре постро-
ена окружность, которая пересекает сторону AB в точке М, а сторону
BC — в точке N. Известно, что AC = 2, AB = 3, AM : MB = 2:3. Найди-
те AN.​

Добрый день! Давайте решим данный геометрический вопрос.

У нас есть треугольник ABC, в котором сторона AC является диаметром окружности. Поэтому окружность проходит через точку M на стороне AB и точку N на стороне BC.

Согласно условию задачи, нам известны следующие данные:
AC = 2 (сторона треугольника),
AB = 3 (другая сторона треугольника),
AM : MB = 2:3 (отношение длин отрезков AM и MB).

Нам нужно найти длину отрезка AN.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами треугольника и окружности.

Шаг 1: Найдем длину отрезка BM
Так как отношение AM : MB = 2:3, то длина отрезка AM равна 2/5 от длины отрезка AB, а длина отрезка MB равна 3/5 от длины отрезка AB:
AM = (2/5) * AB = (2/5) * 3 = 6/5
MB = (3/5) * AB = (3/5) * 3 = 9/5

Шаг 2: Найдем длину отрезка BN
Так как AC является диаметром окружности, то угол MNC - прямой угол. Поэтому треугольник ABC является прямоугольным. Так как MN - диаметр окружности, то угол AMN - прямой угол. Тогда треугольники AMN и ABN подобны по теореме о вписанном угле.

Давайте воспользуемся этой теоремой для нахождения отношения длин отрезков AN и AB:
AM : AN = MN : BN

По теореме Талеса для треугольника ABC, угол AMN - прямой:
MN = AC = 2 // так как AC - диаметр окружности

Из подобия треугольников AMN и ABN следует:
AM : AN = MN : BN
2/5 : AN = 2 : BN
BN = AN * 2/(2/5)
BN = AN * 5/2

Шаг 3: Найдем длину отрезка AN
Подставим данные в уравнение:
BN = AN * 5/2
9/5 = AN * 5/2 // подставляем BN = 9/5
AN = (9/5) * (2/5)
AN = 18/25

Итак, длина отрезка AN равна 18/25.

Вот решение данной задачи. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать.