Конус пересечён плоскостью, которая перпендикулярна высоте конуса и делит её на отрезки в отношении 1: 3, считая от вершины. Площадь сечения равна 7π. Вычисли площадь основания конуса
Для решения этой задачи нам понадобится знать некоторые свойства конуса и его сечений.
1. Сечение конуса высотой является фигурой, полученной при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию. В данной задаче сечение перпендикулярно высоте конуса, поэтому оно будет окружностью.
2. Основанием конуса является круг, который также является основанием сечения.
3. Плоскость, содержащая высоту конуса, делит его на два подобных конуса. Подобные фигуры имеют одинаковые соотношения между своими сторонами и площадями.
Теперь перейдем к решению задачи:
Пусть радиус основания конуса будет равен r, а высота – h.
Так как основание конуса является кругом, то его площадь равна S₀ = πr².
Плоскость пересекает высоту, деля ее на два отрезка в соотношении 1:3. Значит, первый отрезок составляет h₁ = h / (1+3) = h / 4, а второй отрезок равен h₂ = 3h₁ = 3h / 4.
Сечение перпендикулярно высоте является окружностью. По условию, площадь этой окружности равна 7π, то есть S₁ = 7π.
Так как сечение является основанием одного из подобных конусов, то отношение площадей этого сечения и основания соответствует отношению высот сечения и конуса. Запишем это соотношение:
S₁ / S₀ = (h₂ / h)²
Подставим известные значения:
7π / πr² = ((3h/4) / h)²
Упростим выражение:
7 / r² = (3/4)²
7 / r² = 9 / 16
Теперь решим получившееся уравнение относительно r:
7 * 16 = 9 * r²
112 = 9r²
r² = 112 / 9
r ≈ √(112 / 9)
r ≈ 10 / 3
Теперь, когда значение радиуса основания известно, можем найти площадь основания конуса:
S₀ = πr² ≈ π * (10/3)² ≈ π * (100/9) ≈ 100π / 9
Таким образом, площадь основания конуса равна приблизительно 100π/9.
Объяснение:
В осевом сечении получится равнобедренный ΔКВМ , с АС║КМ, ВН⊥КМ ,S(м)=7π, ВО/ОН=1/3.
S(круга)= π r², 7π=πr² , r=√7 , АО=√7.
ΔАВО подобен ΔКВН по двум углам: ∠А-общий,∠ВАО=∠ВКН как соответственные при АС║КМ, ВК-секущая.Значит сходственные стороны пропорциональны :
АО/КН=1/4=АО/КН
1/4=√7/КН
КН=4√7.
S(нижнего основания конуса)= π(4√7)²=112π .
Полученное сечение(круг) параллельно плоскости основания(кругу). Они подобны с к=1/4. Значит их площади относятся как к²⇒
S(м):S(б)=к² или 7π/S(б)=1/16 , S(б)=7π*16=112π.
1. Сечение конуса высотой является фигурой, полученной при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию. В данной задаче сечение перпендикулярно высоте конуса, поэтому оно будет окружностью.
2. Основанием конуса является круг, который также является основанием сечения.
3. Плоскость, содержащая высоту конуса, делит его на два подобных конуса. Подобные фигуры имеют одинаковые соотношения между своими сторонами и площадями.
Теперь перейдем к решению задачи:
Пусть радиус основания конуса будет равен r, а высота – h.
Так как основание конуса является кругом, то его площадь равна S₀ = πr².
Плоскость пересекает высоту, деля ее на два отрезка в соотношении 1:3. Значит, первый отрезок составляет h₁ = h / (1+3) = h / 4, а второй отрезок равен h₂ = 3h₁ = 3h / 4.
Сечение перпендикулярно высоте является окружностью. По условию, площадь этой окружности равна 7π, то есть S₁ = 7π.
Так как сечение является основанием одного из подобных конусов, то отношение площадей этого сечения и основания соответствует отношению высот сечения и конуса. Запишем это соотношение:
S₁ / S₀ = (h₂ / h)²
Подставим известные значения:
7π / πr² = ((3h/4) / h)²
Упростим выражение:
7 / r² = (3/4)²
7 / r² = 9 / 16
Теперь решим получившееся уравнение относительно r:
7 * 16 = 9 * r²
112 = 9r²
r² = 112 / 9
r ≈ √(112 / 9)
r ≈ 10 / 3
Теперь, когда значение радиуса основания известно, можем найти площадь основания конуса:
S₀ = πr² ≈ π * (10/3)² ≈ π * (100/9) ≈ 100π / 9
Таким образом, площадь основания конуса равна приблизительно 100π/9.