Из прямоугольного листа жести со сторонами a=1000мм и b=900мм необходимо изготовить ящик наибольшего объёма, вырезав равные квадраты по углам и загибая затем жесть так, чтобы образовались боковые стенки ящика. Какой должна быть сторона вырезанного квадрата?
(Полученный результат округлить до миллиметров)​

Чтобы найти сторону вырезанного квадрата, мы должны максимизировать объем ящика. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = a * b * h, где a и b - стороны основания, а h - высота ящика. В данном случае, высота ящика будет равна стороне вырезанного квадрата.

При изготовлении ящика, мы вырезаем квадраты одинакового размера по углам жести, и затем загибаем боковые стенки ящика. Чтобы максимизировать объем ящика, нужно выбрать такой размер квадратов, чтобы сумма длин всех сторон в основании была максимальной. Максимальная сумма длин сторон основания обеспечивает максимальный объем ящика.

Так как мы вырезаем квадраты одинакового размера по углам, то у нас получается новое прямоугольное основание для ящика со сторонами (a-2x) и (b-2x), где x - длина стороны вырезанного квадрата.

Теперь мы можем записать формулу для объема ящика в зависимости от стороны вырезанного квадрата:

V = (a - 2x) * (b - 2x) * x

Для удобства решения задачи, раскроем скобки:

V = (ab - 2bx - 2ax + 4x^2) * x

Упростим выражение:

V = abx - 2bx^2 - 2ax^2 + 4x^3

Теперь мы можем продифференцировать данное выражение по x, чтобы найти точку максимума:

dV/dx = ab - 4bx - 4ax + 12x^2

Приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти критические точки:

ab - 4bx - 4ax + 12x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

x(12x - 4b - 4a) + ab = 0

Так как x не может быть равен нулю, то можно разделить уравнение на x:

12x - 4b - 4a + ab/x = 0

ab/x = 4b + 4a - 12x

ab = x(4b + 4a - 12x)

ab = 4ax + 4bx - 12x^2

12x^2 - 4ax - 4bx + ab = 0

Теперь мы получили уравнение квадратное относительно x. Решим это уравнение:

12x^2 - 4ax - 4bx + ab = 0

Заменим a = 1000 и b = 900:

12x^2 - 4*1000*x - 4*900*x + 1000*900 = 0

12x^2 - 4000x - 3600x + 900000 = 0

12x^2 - 7600x + 900000 = 0

Решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-7600)^2 - 4*12*900000

D = 57760000 - 43200000

D = 14560000

Теперь найдем значения x с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-(-7600) ± √14560000) / (2*12)

x = (7600 ± √14560000) / 24

x = (7600 ± 1200√10) / 24

x = (380 ± 60√10) / 12

x ≈ 31.83 или x ≈ -8.17

Строить ящик с отрицательной стороной не имеет смысла, поэтому выбираем положительное значение x:

x ≈ 31.83 мм

Таким образом, сторона вырезанного квадрата должна быть около 31.83 мм.