Основание прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 – параллелограмм АВСD. В
котором АD= 3 корней из 2 , угол D = 135 градусов. Тангенс угла между плоскостью основания и
плоскостью В1СD равен 0,5. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Объяснение:В основании прямого параллелепипеда- параллелограмм АВCD.

Боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ перпендикулярны плоскости АВСD.

Плоскость А₁СВ  пересекает грань АА₁В₁В по прямой А₁В,

Так как грани АА₁В₁В и СС₁D₁D параллельны, то плоскость А₁СВ пересекает грань СС₁D₁D  по прямой СD₁, параллельной А₁B.

Найдем линейный угол двугранного угла между плоскостью А₁ВСD₁ и плоскостью АВСD:  проведем .

Треугольник А₁АК- прямоугольный.

так как прямая  АА₁ перпендикулярна плоскости АВСD, значит АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой АК.

Значит, А₁К-наклонная, АК-проекция наклонной на плоскость АВСD.

По теореме о трех перпендикулярах

Угол А₁KА - линейный угол двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК:  АВ=CD=2√3.

Угол АВК равен углу АDС.  , тогда

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит ВК=√3. По теореме Пифагора АК=√((2√3)²-(√3)²)=√(12-3)=√9=3

Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁АК: ,

 АК=3.

Катет АК равен половине гипотенузы А₁К, значит гипотенуза  А₁К=6.

По теореме Пифагора А₁А=√А₁К²-АК²=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=3√3

ответ. Высота параллелепипеда равна 3√3.