Около окружности с центром о описан прямоугольный треугольник мрк с гипотенузой мк. луч мо пересекает катет рк в точке с. найдите длину отрезка ср, если точка касанию с окружностью делит катет рк на отрезки рн=4 и
нк=12

возьмем точку А - за точку касания окружности с катетом МР

возьмем точку В - за точку касания окружности с гипотенузой МК
АМ = х см

МВ = х см

PK = 4 + 12 = 16 см

по т.Пифагора:

PK^2 + PM^2 = MK^2
составим уравнение:

(х + 4)^2 + 16^2 = (x + 12)^2

после упрощения получим:
x^2 + 8*x + 16 + 256 = x^2 + 24*x + 144

16*x = 128
x = 8 см = АМ
РМ = АМ + РН = 8 + 4 = 12 см

МК = АМ + НК = 8 + 12 = 20 см
значит МС - бисектриса

составим отношение: 

СР:СК = РМ:МК = 12:20 = 3:5
16/(3 + 5)*3 = 16/8*3 = 6 см = СР