Вычислить наибольший объём конуса, если длина образующей равна 28,2см.
2. Kаковы должны быть размеры открытого цилиндрического бака объёмом 17,576π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Радиус основания цилиндра равен .

Высота цилиндра равна

1) Объём конуса V = (1/3)π*R²*h, где R и h - радиус основания и высота конуса.  

По теореме Пифагора, R² + h²=L², откуда R² = (L²- h²) м².  

Тогда V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.  

Производная V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).  

Приравнивая её к нулю, приходим к уравнению (π/3)*( L² - 3h²) = 0.  

Нулю приравниваем второе выражение в скобках.

Отсюда находим h = √(( L²)/3) = L/√3 = 28,2/√3  ≈ 16,28128 см.

Так как значение h положительно, то найденная точка h= (L/√3)  является точкой максимума функции V(h).

Подставим значение h= (L/√3) в уравнение объёма:

V = (π/3)*( L²*(L/√3) - (L/√3)³) = (2πL3)/(9√3).

Значение Vmax = (2π*28,23)/(9/√3) ≈ 9039,0764  cм³.  

ответ: 9039,0764  cм³.

2) Площадь бака S = πR² + 2 πRh.

Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².

Заменим h в формуле площади:  

S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).

Находим производную функции площади по R²:

S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем нулю.

2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим  R = ³√(V/π) = ³√(17,576π/π) = 2,6 см.

ответ: S = (π*2,62) + (2*17,576π/2,6) = 63,7115 кв.ед.