Постройте сечение четырехугольной пирамиды, которое параллельно основанию пирамиды и проходит через середину бокового ребра. Вычислите площадь сечения, если основание пирамиды параллелограмм, стороны которого равны 13 см и 15 см , а одна из диагоналей 14 см.

ответ: 42 см².(Чертёж см, на фото)

Объяснение:  Дано: АВСДS- пирамида, АВСД-параллелограмм,АВ=13 см, АД=15 см, ВД=14 см.

А₁∈АS, АА₁=А₁S,  пл.(А₁В₁С₁)║пл.(АВС). Найти: S А₁В₁Д₁.

SΔАВД = 1/2S АВСД по свойству диагонали параллелограмма.

Р ΔАВД=13+14+15=42 (см), р=Р:2=42:2=21 (см).

По формуле Герона SΔ=√(р(р-а)(р-в))р-с)) ⇒

SΔАВД=√(21*(21-13)(21-14(21-15))=√(21*8*7*6)=

=√(7*3*4*2*7*3*2)=7*3*2*2=84(см²);  Sосн.=84*2=168 (см²).

Т.к. сечение проходит через середину бокового ребра АС и плоскость сечение ║ плоскости основания, то по теореме Фалеса сечение проходит и через середину всех других  ребер пирамиды.

Построим сечение пирамиды, соединив середины боковых рёбер, получим параллелограмм А₁В₁С₁Д₁.

Рассмотрим Δ АSД и ΔА₁SД₁ , они подобны по второму признаку подобия (∠S-общий, ∠SА₁Д₁=SАД как соответственные при А₁Д₁║АД и секущей SА) ⇒SА:SА=1/2, коэффициент подобия к=1/2. Это справедливо для всех граней. ⇒ Параллелограмм в сечении подобен параллелограмму в основании пирамиды  с к=1/2.

тогда S сеч. : S осн.=к²= 1/4; тогда S сеч.=S осн.*к²=168*1/4=42 (см²).