Даны координаты вершин пирамиды а1(4; 3; 6) а2(4; 9; 4) а3(5; 10; 3) а4(3; 1; 3)
а)найдите угол между ребром а1а4 и гранью а1а2а3
б)уравнение высоты опущенной из вершины а4 на грань а1а2а3​

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. АВСD :

А1(4;3;6), А2(4;9;4), А3(5;10;3), А4(3;1;3).

Для удобства назовём их АВСD.

А(4;3;6), B(4;9;4), C(5;10;3), D(3;1;3).

а)Найдите угол между ребром А1А4 (AD) и гранью А1А2А3 (ABC).

Находим векторы АВ и АС.

АВ = (0; 6; -2), АС = (1; 7; -3).

Их векторное произведение равно.

i           j         k |         i         j

0        6       -2 |         0        6

1          7       -3 |         1        7 = -18i - 2j + 0k - 0j + 14i - 6k = -4i - 2j - 6k.

Нормальный вектор к плоскости АВС равен (-4; -2; -6).

Модуль равен √((-4)²+ (-2)² + (-6)²)  =  √(16 + 4 + 36) = √56 ≈  

7,483.

Вектор АD    

x y z Модуль

-1 -2 -3   √14 ≈ 3,74166

.

cos α = (-1*(-4) + (-2)*(-2) + (-3)*(-6))/(√14*√56)  =

          = (4 + 4 + 18)/(√14*2√14) = 26/28 =  

13/14 ≈ 0,9286.

α = 0,38025 радиан  или  21,7868 градуса

.

б)Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 (D) на грань А1А2А3​ (ABC).

Её направляющий вектор найден - он равен нормальному вектору плоскости АВС(-4; -2; -6).

Используем координаты точки D(3; 1; 3).

Уравнение высоты DH: (x – 3)/(-4) = (y – 1)/(-2) = (z – 3)/(-6).