На сторонах bc и cd квадрата abcd взяли точки k и m так, что угол mak равен 45 градусов. известно, что kc=3, cm=4, km=5. найдите сторону квадрата abcd.

Найдем центр вневписанной окружности KCM.

Угол между биссектрисами внешних углов при K и M равен 90 -С/2 =45.

Отрезок KM виден из центра под углом 45.

Центр лежит на биссектрисе угла С.

Точка A является искомым центром т.к. удовлетворяет обоим условиям.

В, D - точки касания на продолжениях сторон (радиусы в эти точки перпендикулярны касательным).

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника (N) делит периметр пополам.

(Отрезки касательных из одной точки равны: CB=CD, KB=KN, MN=MD => CK+KN=CM+MN)

CB =CK+KN =(3+4+5)/2 =6