Втреугольнике abc точка b1 — середина ac, точка а1 лежит на стороне вс так, что ba1 : a1c = 1 : 2. используя векторы, докажите что середина bb1 лежит на прямой аа1

Объяснение:

Пусть О — середина BB1. Тогда необходимо доказать, что вектора AO и AA1 коллинеарны.

Выберем базис векторов (AB, AC).

В этом базисе вектор BC = AC — AB, и BA1 = 1/3 * BC = 1/3 * (AC — AB), и тогда

AA1 = AB + BA1 = AB + 1/3 * AC — 1/3 * AB = 2/3 * AB + 1/3 * AC = 1/3 * (2 * AB + AC)

Вектор AO = AB + BO, а BO = 1/2 * BB1, где BB1 = AB1 — AB = 1/2 * AC — AB, или

AO = AB + 1/2 * (1/2 * AC — AB) = 1/2 * AB + 1/4 * AC = 1/4 * (2 * AB + AC)

Обозначая вектор 2 * AB + AC как a, получаем AO = 1/4 * a, AA1 = 1/3 * a, т.е. AO и AA1 коллинеарны.