1. Розкриваємо дужки:
3cos2x * cos3x + 2cos3x - a * cos2x - 4a = 0
Переписуємо у вигляді полінома змінної t = cos x:
3t^4 + 2t^3 - at^2 - 4a = 0
Для того, щоб рівняння мало розв'язки, дискримінант цього полінома повинен бути не менше нуля:
D = (2/3)^2 - 4 * 3 * (-a/3) ≥ 0
4/9 + 4a ≥ 0
a ≥ -1/9
Отже, рівняння має розв'язки для всіх a ≥ -1/9.
2. Перепишемо нерівність у вигляді:
2cos(x+1) - 3 ≥ -a
cos(x+1) ≥ (-a+3)/2
За до графіка функції cos(x+1) можна побачити, що ця нерівність виконується для всіх x, якщо (-a+3)/2 ≤ 1 або -a ≤ -1, тобто a ≥ 1.
Отже, нерівність виконується для всіх x при a ≥ 1.
1. Розкриваємо дужки:
3cos2x * cos3x + 2cos3x - a * cos2x - 4a = 0
Переписуємо у вигляді полінома змінної t = cos x:
3t^4 + 2t^3 - at^2 - 4a = 0
Для того, щоб рівняння мало розв'язки, дискримінант цього полінома повинен бути не менше нуля:
D = (2/3)^2 - 4 * 3 * (-a/3) ≥ 0
4/9 + 4a ≥ 0
a ≥ -1/9
Отже, рівняння має розв'язки для всіх a ≥ -1/9.
2. Перепишемо нерівність у вигляді:
2cos(x+1) - 3 ≥ -a
cos(x+1) ≥ (-a+3)/2
За до графіка функції cos(x+1) можна побачити, що ця нерівність виконується для всіх x, якщо (-a+3)/2 ≤ 1 або -a ≤ -1, тобто a ≥ 1.
Отже, нерівність виконується для всіх x при a ≥ 1.