Чтобы найти путь, пройденный точкой за первые 3 секунды движения, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля скорости точки по времени (от времени t=0 до t=3).
Для начала, нам нужно найти скорость точки. Для этого надо взять производную от функции x=2t^3 - 9t^2 + 12t.
x'(t) = 6t^2 - 18t + 12.
Теперь, чтобы найти скорость, нужно найти модуль этого выражения: |x'(t)|.
|x'(t)| = |6t^2 - 18t + 12|.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени:
Путь = ∫(от t=0 до t=3) |x'(t)| dt.
Давайте разобьем этот интеграл на части, чтобы его было проще вычислить.
Подставь 3 секунды в уравнение вместо t.
ответ: -27 м. Минус 27, потому что точка двигалась назад
Для начала, нам нужно найти скорость точки. Для этого надо взять производную от функции x=2t^3 - 9t^2 + 12t.
x'(t) = 6t^2 - 18t + 12.
Теперь, чтобы найти скорость, нужно найти модуль этого выражения: |x'(t)|.
|x'(t)| = |6t^2 - 18t + 12|.
Теперь мы можем вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени:
Путь = ∫(от t=0 до t=3) |x'(t)| dt.
Давайте разобьем этот интеграл на части, чтобы его было проще вычислить.
∫(от t=0 до t=3) |6t^2 - 18t + 12| dt = ∫(от t=0 до t=1) |6t^2 - 18t + 12| dt + ∫(от t=1 до t=2) |6t^2 - 18t + 12| dt + ∫(от t=2 до t=3) |6t^2 - 18t + 12| dt.
Теперь давайте посчитаем каждый интеграл по отдельности.
1. ∫(от t=0 до t=1) |6t^2 - 18t + 12| dt:
Мы можем разделить этот интеграл на два интеграла, чтобы избавиться от модуля внутри:
∫(от t=0 до t=1) (6t^2 - 18t + 12) dt, при t>=0.
∫(от t=0 до t=1) (6t^2 - 18t + 12) dt = [2t^3 - 9t^2 + 12t] (от t=0 до t=1) = (2*1^3 - 9*1^2 + 12*1) - (2*0^3 - 9*0^2 + 12*0) = 2 - 9 + 12 = 5.
2. ∫(от t=1 до t=2) |6t^2 - 18t + 12| dt:
Опять же, разделим это на два интеграла:
∫(от t=1 до t=2) (6t^2 - 18t + 12) dt, при t>=1.
∫(от t=1 до t=2) (6t^2 - 18t + 12) dt = [2t^3 - 9t^2 + 12t] (от t=1 до t=2) = (2*2^3 - 9*2^2 + 12*2) - (2*1^3 - 9*1^2 + 12*1) = 16 - 36 + 24 - 2 + 9 - 12 = -11.
3. ∫(от t=2 до t=3) |6t^2 - 18t + 12| dt:
И снова разделим на два интеграла:
∫(от t=2 до t=3) (6t^2 - 18t + 12) dt, при t>=2.
∫(от t=2 до t=3) (6t^2 - 18t + 12) dt = [2t^3 - 9t^2 + 12t] (от t=2 до t=3) = (2*3^3 - 9*3^2 + 12*3) - (2*2^3 - 9*2^2 + 12*2) = 54 - 81 + 36 - 16 + 36 - 24 = 5.
Теперь сложим результаты трех интегралов:
Путь = ∫(от t=0 до t=3) |x'(t)| dt = ∫(от t=0 до t=1) |x'(t)| dt + ∫(от t=1 до t=2) |x'(t)| dt + ∫(от t=2 до t=3) |x'(t)| dt = 5 + (-11) + 5 = -1.
Таким образом, путь пройденный точкой за первые 3 секунды движения составляет -1 метр.