Под каким углом α к горизонту следует бросить камень с вершины горы с уклоном (β = 45°), чтобы он упал на склон на максимальном расстоянии?

Вообще при любых обстоятельствах (кроме препятствий на пути) любое тело улетит дальше, если его кинуть под углом в 45° к горизонту.
Это потому что дальность полёта S= (2v0^2 * sin α * cos α)/g
Наибольшее значение sin α * cos α достигается при значении α=45°.