Заряд на пластине конденсатора колебательного контура уменьшился от амплитудного значения до до половины этого значения. через какую часть периода колебаний этот заряд будет иметь такой же модуль, но противоположный знак?

Колебания описываются формулой q=q0*cos(wt) 
косинус а не синус потому как колебания начались от максимального значения амплитуды.
wt = фаза колебаний
впервые q=q0/2 при wt=pi/3 ( т.к. cos(pi/3)=1/2)
после этого q=-q0/2 при wt=2pi/3 ( т.к. cos(2pi/3)=-1/2)
фаза колебаний изменилась на 2pi/3 - pi/3 = pi/3
период колебаний равен 2pi
значит фаза колебаний изменилась на pi/3 : 2pi = 1 : 6 = 1/6 часть периода