Уракеты, стартовавшей вертикально вверх с ускорением а = 4g, отделилась первая ступень и упала на землю через время 40 с после старта. на какой высоте произошло отделение? сопротивлением воздуха пренебречь.
Время Δt складывается из времен подъема ракеты t1 до высоты h и спуска ступени t2 с этой высоты:
Δt = t1 + t2 (!)
если ракета начинала подъем без начальной скорости, то справедливо уравнение:
h = (a t1²)/2 = 2g t1²
поэтому время t1 равно:
t1 = √(h/(2g))
ракета, поднявшись на высоту h, приобретает скорость v = a t1 = 4g t1. такую же скорость по модулю, но обратную по направлению, приобретает ступень. для нее справедливо уравнение:
h = 4g t1 t2 + (g t2²)/2
перепишем квадратное уравнение относительно t2 в виде:
t2² + 8 t1 t2 - (2h)/g = 0
корень этого уравнения (отрицательный, разумеется, отбрасываю):
t2 = (-8 t1 + √(64 t1² + (8h)/g))/2
t2 = √(16 t1² + (2h)/g) - 4 t1
после ряда преобразований и подстановки выражения для t1 получаем:
t2 = √(h/g) * (√10 - √8)
вернемся к формуле (!):
Δt = √(h/(2g)) + √(h/g) * (√10 - √8)
нетрудно получить выражение для h:
h = (g Δt²)/(√(1/2) + √10 - √8)²
h = (9.8*40^(2))/(sqrt(0.5)+sqrt(10)-sqrt(8))^(2) ≈ 14470.389 м
Δt = t1 + t2 (!)
если ракета начинала подъем без начальной скорости, то справедливо уравнение:
h = (a t1²)/2 = 2g t1²
поэтому время t1 равно:
t1 = √(h/(2g))
ракета, поднявшись на высоту h, приобретает скорость v = a t1 = 4g t1. такую же скорость по модулю, но обратную по направлению, приобретает ступень. для нее справедливо уравнение:
h = 4g t1 t2 + (g t2²)/2
перепишем квадратное уравнение относительно t2 в виде:
t2² + 8 t1 t2 - (2h)/g = 0
корень этого уравнения (отрицательный, разумеется, отбрасываю):
t2 = (-8 t1 + √(64 t1² + (8h)/g))/2
t2 = √(16 t1² + (2h)/g) - 4 t1
после ряда преобразований и подстановки выражения для t1 получаем:
t2 = √(h/g) * (√10 - √8)
вернемся к формуле (!):
Δt = √(h/(2g)) + √(h/g) * (√10 - √8)
нетрудно получить выражение для h:
h = (g Δt²)/(√(1/2) + √10 - √8)²
h = (9.8*40^(2))/(sqrt(0.5)+sqrt(10)-sqrt(8))^(2) ≈ 14470.389 м
h ≈ 14.47 км