Что произойдет если в пластине сделать отверстие в месте расположения центра тяжести и подвесить пластину на стержне вставленном в это отверстие?

Вырезание аккуратного круглого отверстия не сместит положения центра тяжести, если центр отверстия совпадает с изначальным центром тяжести.

Ничего не произойдет, так как сила тяжести (которая приложена к центру тяжести) оказывается приложена ровно к центру вращения. Ее момент стало быть равен нулю, поэтому пластина вращаться и колебаться под действием силы тяжести не будет

Если в пластине сделать отверстие в месте расположения центра тяжести и подвесить пластину на горизонтальном стержне, вставленном в это отверстие, то пластина будет находиться в безразличном положении. Это значит как бы мы её не располагали при незначительных поворотах она будет находиться в равновесии. Ни одна сторона не будет перевешивать.