Умоляю! почему дверь, поставленная наклонно, либо сама открывается, либо сама закрывается? за счет какой энергии совершается эта работа? не нарушается ли здесь закон сохранения энергии?

Нет не нарушается потому что дверь повешенная правильно находится в состоянии  безразличного равновесия ( любое ее отклонение не приводит к возникновению дополнительной силы)

дверь повешенная неверно находится в состоянии неустойчивого равновесия  ( тогда дверь сама открывается) или устойчивого равновесия ( тогда дверь сама закрывается)
это происходит за счет потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли