Докажите, что при гармоническом колебании амплитуда не меняется

Не меняется потому что в уравнении гармонического колебания амплитуда А постоянный коэффициент при переменном значении угла.
т. е. эти колебания описывают движение точки по окружности постоянного радиуса.
 ч.т.д.