Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты н = 2 м по доске, наклоненной под углом α = 45° к горизонту. после спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность μ = 0,5. на каком расстоянии от конца доски мешок остановится?
на горизонтальную поверхность падает мешок под углом α к горизонту со скоростью, равной V. происходит неупругий удар, вследствие чего мешок может остановиться, а может продолжить движение вдоль плоскости и проехать какое-то расстояние S, которое необходимо найти
во-первых, найдем скорость V мешка перед ударом. по закону сохранения энергии:
mgH = Fтр L + (m V²)/2,
где L - расстояние, которое мешок проезжает вдоль наклонной плоскости. из геометрических соображений L = H/sinα. из динамики (закон Кулона-Амонтона) Fтр = u mg cosα. тогда:
V² = 2gH - 2 u g H ctgα = 2gH (1 - u ctgα)
во-вторых, неупругость удара означает, что вертикальная компонента импульса мешка исчезла в результате удара. это дает нам оценку величины силы нормальной реакции опоры N при ударе. если время удара t, то импульс силы N равен:
N t = m V sinα
импульс силы трения за время удара:
F t = u N t = u m V sinα
этот результат позволяет узнать, на сколько изменилась горизонтальная компонента импульса мешка за время удара:
u m V sinα = m (V cosα - U),
U = V cosα (1 - u tgα), где U - скорость мешка после удара
далее кинетическая энергия мешка (m U²)/2 полностью перейдет в работу силы трения и он остановится, пройдя искомое расстояние S:
(m U²)/2 = u mg S
S = U²/(2ug)
S = (H cos²α)/u * (1 - u tgα)² * (1 - u ctgα)
S = (0.5*0.5²*2*0.5)/0.5 = 0.25 м