Однажды Скрудж Макдак нашёл необычное сокровище, которое снаружи выглядело как куб, сделанный из чистого золота. Но оказалось, что внутри золотого куба есть полость, тоже в форме куба, заполненная серебром. Средняя плотность сокровища оказалась равной 12000 кг/м3, тогда как плотность золота равна 19300 кг/м3, а плотность серебра 10500 кг/м3. Стенки золотой части сокровища имеют везде одинаковую толщину h. Найдите отношение толщины стенок h к длине ребра L всего сокровища. ответ округлите до сотых долей.
1. Определяем объем золотой части сокровища.
Обозначим объем золотой части сокровища как Vзолото. По условию, внутри золотого куба есть полость, заполненная серебром. Значит, объем золотой части сокровища равен объему всего сокровища минус объем полости серебра:
Vзолото = Vсокровища - Vсеребра
2. Выразим объем полости серебра.
Объем полости серебра представляет собой объем куба со стороной L минус объем золотой части сокровища:
Vсеребра = L^3 - Vзолото
3. Определяем массу золотой части сокровища.
Масса равна произведению плотности на объем:
mзолото = pзолото * Vзолото
4. Определяем массу полости серебра.
mсеребро = pсеребро * Vсеребра
5. Запишем условие, что средняя плотность сокровища равна 12000 кг/м^3:
(масса золотой части сокровища + масса полости серебра) / (Vзолото + Vсеребра) = 12000 кг/м^3
(мзолото + mсеребро) / (Vзолото + L^3 - Vзолото) = 12000 кг/м^3
Мы знаем значения плотности золота, серебра и среднюю плотность сокровища, поэтому можем решить данное уравнение относительно неизвестной переменной L.
6. Решим уравнение:
(мзолото + mсеребро) / (Vзолото + L^3 - Vзолото) = 12000 кг/м^3
(pзолото * Vзолото + pсеребра * (L^3 - Vзолото)) / L^3 = 12000 кг/м^3
((19300 * Vзолото) + (10500 * (L^3 - Vзолото))) / L^3 = 12000 кг/м^3
(19300 * Vзолото + 10500 * L^3 - 10500 * Vзолото) / L^3 = 12000 кг/м^3
(19300 - 10500) * Vзолото + 10500 * L^3 = 12000 * L^3
(8800) * Vзолото = 1500 * L^3
Vзолото = (1500 / 8800) * L^3
7. Определяем отношение толщины стенок h к длине ребра L всего сокровища.
Толщина стенок h обозначает разность сторон внешнего и внутреннего кубов. То есть, h = L - (L - 2h) = 2h
Отношение h к L равно 2h/L.
8. Подставляем найденное значение Vзолото в формулу отношения:
2h/L = 2*((1500 / 8800) * L^3) / L
2h/L = (3000 / 8800) * L^2
Полученное выражение можно упростить:
h/L = (1500 / 8800) * L^2
9. Округляем полученный ответ до сотых долей:
Отношение h к L равно (1500 / 8800) * L^2