Тело совершает гармонические колебания. Максимальная скорость колеблющего тела равна 11 м/с. Найти величину средней скорости за время, в течение которого оно переместилось из одного крайнего положения в другое.
За одно колебание тело проходит путь L, равный четырём амплитудам x_max (L = 4*x_max). Этот путь оно проходит за время τ, равное периоду (τ = T). Колебательное движение - это движение, которое повторяется. Даже в рамках одного колебания тело, двигаясь сначала в одну сторону, потом - в другую, повторяет свои действия. Оно проходит один и тот же путь и затрачивает одно и то же время на преодоление расстояния в каждом из направлений (если пренебречь силами трения и сопротивления).
Тогда половина пути будет равна (S = L/2 = 2*x_max), а время, за которое тело проходит эту половину, равно половине периода (t = τ/2 = T/2). Средняя скорость находится через отношение всего пути к общему времени. Условиями задачи общий путь определён как S, а время - как t. Тогда:
υ_ср = S/t =>
=> υ_ср = 2*x_max/(T/2) = 4*x_max/T
T = 2π/ω => υ_cp = 4*x_max/(2π/ω) = 4*x_max*ω/(2π)
Скорость - это вторая производная координаты. Формула координаты тела, движение которого подчиняется гармоническому закону:
x(t) = x_max*cos(ω*t) - для случая, когда движение происходит из точки максимального отклонения от положения равновесия
x(t) = x_max*sin(ω*t) - для случая, когда движение происходит из положения равновесия
Допустим, за движением тела начали наблюдать, когда оно находилось в точке максимального отклонения от положения равновесия, тогда скорость тела будет изменяться по закону:
υ(t) = x'(t) = x_max*ω*(-sin(ω*t))
По аналогии с координатой, где х_max - амплитуда, т.е. модуль значения координаты, дальше которой тело не может двигаться при данных условиях, получаем для скорости следующее:
Дано:
υ_max = 11 м/с
t = T/2
S = 2*x_max
υ_ср - ?
За одно колебание тело проходит путь L, равный четырём амплитудам x_max (L = 4*x_max). Этот путь оно проходит за время τ, равное периоду (τ = T). Колебательное движение - это движение, которое повторяется. Даже в рамках одного колебания тело, двигаясь сначала в одну сторону, потом - в другую, повторяет свои действия. Оно проходит один и тот же путь и затрачивает одно и то же время на преодоление расстояния в каждом из направлений (если пренебречь силами трения и сопротивления).
Тогда половина пути будет равна (S = L/2 = 2*x_max), а время, за которое тело проходит эту половину, равно половине периода (t = τ/2 = T/2). Средняя скорость находится через отношение всего пути к общему времени. Условиями задачи общий путь определён как S, а время - как t. Тогда:
υ_ср = S/t =>
=> υ_ср = 2*x_max/(T/2) = 4*x_max/T
T = 2π/ω => υ_cp = 4*x_max/(2π/ω) = 4*x_max*ω/(2π)
Скорость - это вторая производная координаты. Формула координаты тела, движение которого подчиняется гармоническому закону:
x(t) = x_max*cos(ω*t) - для случая, когда движение происходит из точки максимального отклонения от положения равновесия
x(t) = x_max*sin(ω*t) - для случая, когда движение происходит из положения равновесия
Допустим, за движением тела начали наблюдать, когда оно находилось в точке максимального отклонения от положения равновесия, тогда скорость тела будет изменяться по закону:
υ(t) = x'(t) = x_max*ω*(-sin(ω*t))
По аналогии с координатой, где х_max - амплитуда, т.е. модуль значения координаты, дальше которой тело не может двигаться при данных условиях, получаем для скорости следующее:
υ_max = x_max*ω - выразим циклическую частоту:
ω = υ_max/x_max, тогда:
υ_cp = 4*x_max*ω/(2π) = 4*x_max*(υ_max/x_max)/(2π) = 4*υ_max/(2π) = 2*υ_max/π = 2*11/3,14 = 7,00... = 7 м/с
ответ: 7 м/с.