Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=100 мГн и конденсатора емкостью С=100 пФ. Сколько времени проходит от момента,
когда конденсатора полностью разряжен, до момента, когда его энергия
вдвое превышает энергию катушки? Активным сопротивлением катушки
пренебречь.
E = (1/2) * C * V^2,
где E - энергия конденсатора, C - емкость конденсатора, V - напряжение на конденсаторе.
Также нам дана формула для энергии катушки:
E' = (1/2) * L * I^2,
где E' - энергия катушки, L - индуктивность катушки, I - ток в катушке.
Первоначально, когда конденсатор полностью разряжен, его энергия равна нулю. То есть:
E_начальная = 0.
Мы должны найти момент времени, когда энергия конденсатора вдвое превышает энергию катушки. Пусть это происходит через время t.
Тогда энергия конденсатора в это время будет равна:
E_конденсатора = (1/2) * C * V^2.
А энергия катушки:
E_катушки = (1/2) * L * I^2.
Заметим, что напряжение на конденсаторе связано с током в катушке следующим образом:
V = L * dI/dt,
где dI/dt - изменение тока с течением времени.
Тогда энергия конденсатора и энергия катушки можно переписать через ток I:
E_конденсатора = (1/2) * C * (L * dI/dt)^2,
E_катушки = (1/2) * L * I^2.
Мы хотим найти момент времени, когда E_конденсатора равна 2 * E_катушки. Подставим эти выражения для энергии в уравнение:
(1/2) * C * (L * dI/dt)^2 = 2 * (1/2) * L * I^2.
Упростим это уравнение, перекрестно умножив:
C * (L * dI/dt)^2 = 2 * L * I^2.
Разделим обе части на L * I^2:
C * (dI/dt)^2 = 2.
Теперь мы можем взять квадратный корень от обеих частей уравнения:
dI/dt = sqrt(2/C).
Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения по времени, чтобы найти зависимость тока от времени:
∫ dI = ∫ sqrt(2/C) * dt.
Интегрирование левой части дает:
I = sqrt(2/C) * t + C_1,
где C_1 - постоянная интегрирования.
Теперь, чтобы найти постоянную C_1, мы можем использовать начальное условие, что в начальный момент времени ток равен нулю (так как конденсатор полностью разряжен):
I_начальный = 0,
C_1 = 0.
Таким образом, у нас есть окончательное выражение для тока I в зависимости от времени:
I = sqrt(2/C) * t.
Теперь, чтобы найти время t, когда энергия конденсатора вдвое превышает энергию катушки, мы можем подставить это выражение для I в формулу энергии:
E_конденсатора = (1/2) * C * (L * dI/dt)^2.
Подставим I = sqrt(2/C) * t и выразим t:
(1/2) * C * (L * d(sqrt(2/C) * t)/dt)^2 = 2 * (1/2) * L * (sqrt(2/C) * t)^2.
Упростим это уравнение:
(1/2) * C * (L * (d/dt) sqrt(2/C) * t)^2 = L * 2 * t^2.
d/dt sqrt(2/C) * t = 1/2 * sqrt(2/C) * (d/dt) t,
(1/2) * C * (L * 1/2 * sqrt(2/C))^2 = L * 2 * t^2,
C * (L/4C) = 4 * t^2,
t^2 = L/4C,
t = sqrt(L/4C).
Таким образом, время, которое проходит от момента, когда конденсатор полностью разряжен, до момента, когда его энергия вдвое превышает энергию катушки, равно sqrt(L/4C).
Подставляя значения L = 100 мГн и C = 100 пФ:
t = sqrt(100 мГн / (4 * 100 пФ)).
t = sqrt(0.001 с / (4 * 0.0000001 с)).
t = sqrt(0.000001 с) = 0.001 с.
Таким образом, время, которое проходит от момента, когда конденсатор полностью разряжен, до момента, когда его энергия вдвое превышает энергию катушки, равно 0.001 секунде.