Пловец переплывает реку шириной н. под каким углом к течению он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? какой путь s он проплывет и каково при этом его горизонтальное перемещение лх? скорость течения реки vi, скорость пловца относительно воды vz.

Если нужно быстрей переплыть, значит и надо плыть по направлению, перпендикулярному к линии берега, не обращая внимание, что вода будет сносить пловца. Т.е вектор скорости пловца будет разлагаться на скорость пловца, перпендикулярно берегу и скорость течения, которая параллельно берегу.
Тогда очевидно, пловец переплывёт реку за время t=H/vz, а за это время пловца снесёт течением на Lх=vl*t=vl*H/vz.
А путь S = кв корень из суммы Н в квадрате+ Lх2  в квадрате