Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом r. с какой высоты h шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке петли?

В  верхней  точке  петли потенциальная энергия шарика, движущегося с высоты h, превращается в кинетическую энергию - движения и потенциальную - положения.
mgh =(mv^2)/2 + mg2R.
Разделив на mg, получим: h = v^2/2g + 2R.
А скорость определим из условия равенства силы тяжести и инерции.
mg = (mv^2)/R. Откуда v^2 = Rg.
Тогда h = Rg/2g + 2R = 5/2 R.