Однородный стержень длиной l колеблется около - вопрос №1720464 от JûšțĞîřł 03.06.2021 02:32

Question

Физика: Однородный стержень длиной l колеблется около оси, проходящий через его конец. найти период колебаний и длину такого маятника мне нужно дано и чёткое решение желтельно с пояснениями!

JûšțĞîřł · Answer

Несложно написать уравнение движения такого маятника:

$I\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}=-mgh\sin \varphi$

Немного пошаманив, можно показать, что для периода можно написать

$T=4\sqrt{\dfrac{I}{mga}}\cdot K\left(\sin\dfrac{\varphi_0}2\right)$

где а=L/2 - расстояние от центра инерции до точки подвеса, а К - полный эллиптический интеграл 1 рода.

Известно, что момент инерции однородного стержня равен I0=mL^2/12, тогда по теореме Штейнера I=I0+ma^2=mL^2/12+mL^2/4=mL^2/3

Подставив всё в формулу, получаем

$T=4\sqrt{\dfrac{mL^2/3}{mgL/2}}\cdot K\left(\sin\dfrac\varphi2\right)=4\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}\cdot K\left(\sin\dfrac\varphi2\right)$ $T=4\sqrt{\dfrac{mL^2/3}{mgL/2}}\cdot K\left(\sin\dfrac{\varphi_0}2\right)=4\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}\cdot K\left(\sin\dfrac{\varphi_0}2\right)$

Для случая малых углов, применяя формулу $K(\alpha)\approx\frac\pi2,$ получим такую формулу:

$T\approx2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}$