79. Кольцо радиуса 6,5 см из тонкой проволоки равномерно заряжено зарядом 20 нКл. Определить : а) потенциал точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, как функцию расстояния h точки от плоскости кольца; б) напряжённость как градиент потенциала; в) потенциал и напряженность в центре кольца при h=10 см.
79. Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон Кулона, который гласит: напряженность электрического поля E, создаваемого точечным зарядом Q, равна отношению силы F, действующей на другой точечный заряд q, к величине этого заряда q:
E = F/q
Также, мы можем использовать формулу для потенциала электрического поля V, создаваемого точечным зарядом Q, в точке с расстоянием r от этого заряда:
V = kQ/r, где k - постоянная Кулона.
Для начала, определим потенциал точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, как функцию расстояния h точки от плоскости кольца (а).
Дано, что радиус кольца равен 6,5 см, величина заряда Q равна 20 нКл.
а) Чтобы определить потенциал точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, как функцию расстояния h точки от плоскости кольца (пусть это будет растояние a), нам нужно разделить кольцо на малые частицы проволоки, считая их заряженными точечными зарядами dQ, где dQ = (dQ/Q) * Q.
Для вектора потенциала создаваемого отрезком c длиной dl, расстояние от которого до точки a равно r, получим:
dV = kdQ/r
Теперь мы можем выразить малый заряд dQ через радиус кольца и угол dθ:
dQ = (2πr / Q) * Q * dθ
Таким образом, dV можно записать как:
dV = 2πk * dθ / r
Интегрируя данное выражение от 0 до 2π, получим:
V = ∫(0 to 2π) 2πk * dθ / r
V = 2πk * [θ] (от 0 до 2π) / r
V = 2πk * 2π / r
V = 4π^2k / r
Мы уже знаем, что k = 9 * 10^9 Н м^2 / Кл^2, а r = 6,5 см = 0,065 м:
V = 4π^2 * 9 * 10^9 / 0,065
V ≈ 2,19 * 10^11 В
Таким образом, потенциал точки, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, как функцию расстояния h точки от плоскости кольца, составляет примерно 2,19 * 10^11 В.
б) Чтобы найти напряженность как градиент потенциала, нужно вычислить производную потенциала V по координатам в данной точке:
E = -∇V = (-∂V/∂x, -∂V/∂y, -∂V/∂z)
В данной задаче мы рассматриваем только одну координату - высоту h. Соответственно, нужно найти только производную ∂V/∂h. Найдем ее:
∂V/∂h = -∂(4π^2k/r) / ∂h
= 0 (так как потенциал не зависит от высоты h)
Таким образом, напряженность как градиент потенциала равна нулю.
в) Наконец, для определения потенциала и напряженности в центре кольца при h = 10 см, положим h = 10 см = 0,1 м в нашем выражении для потенциала:
V = 4π^2k / r
V = 4π^2 * 9 * 10^9 / 0,065
V ≈ 2,19 * 10^11 В
Таким образом, потенциал в центре кольца при h = 10 см составляет примерно 2,19 * 10^11 В.
И так как напряженность как градиент потенциала равна нулю, то напряженность в центре кольца при h = 10 см также будет равна нулю.
Надеюсь, данное решение было понятно и полезно для вас! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их.