Стержень движется вдоль линейки с постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчёта, связанной с линейкой, то разность отсчётов по линейке будет 66 см. Если положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчёта, связанной со стержнем, то разность отсчётов по этой же линейке будет 34 м. Найдите собственную длину стержня.
L' = L * √(1 - v^2/c^2)
Где L' - длина стержня в движущейся системе отсчёта, L - собственная длина стержня, v - скорость стержня, c - скорость света.
Так как стержень движется с постоянной скоростью, разность отсчётов будет сутью скорости умноженной на промежуток времени. Для первой ситуации дано, что разность отсчётов по линейке равна 66 см. Найдём скорость стержня:
v = Δx / Δt
Где Δx - разность отсчётов, Δt - промежуток времени.
v = 66 см / Δt
Аналогично, для второй ситуации разность отсчётов по линейке равна 34 м. Найдём скорость стержня в этом случае:
v' = Δx' / Δt'
Где Δx' - разность отсчётов, Δt' - промежуток времени в системе отсчёта, связанной со стержнем.
v' = 34 м / Δt'
Так как длина стержня является неизвестной, обозначим её как L. Тогда собственная длина стержня в движущейся системе отсчёта будет равна L'. Запишем формулу для нахождения L' через L:
L' = L * √(1 - v^2/c^2)
В данной задаче L' равна разнице отсчётов по линейке, то есть 66 см и 34 м в первой и второй ситуациях, соответственно. Поэтому имеем следующее:
L - 66 см = L * √(1 - (66 см / Δt)^2 / c^2)
L - 34 м = L * √(1 - (34 м / Δt')^2 / c^2)
Решим эти уравнения для нахождения собственной длины стержня:
1) L - 66 см = L * √(1 - ((66 см / Δt)^2 / c^2))
Возведём обе стороны уравнения в квадрат:
(L - 66 см)^2 = L^2 * (1 - ((66 см / Δt)^2 / c^2))
Раскроем скобки:
L^2 - 2 * 66 см * L + (66 см)^2 = L^2 - L^2 * ((66 см)^2 / (Δt)^2) / c^2
(L^2 сокращаются):
- 132 см * L + (66 см)^2 = - L^2 * ((66 см)^2 / (Δt)^2) / c^2
Сократим на -1 и вынесем общий множитель за скобку:
132 см * L - (66 см)^2 = L^2 * ((66 см)^2 / (Δt)^2) / c^2
Теперь перейдём ко второму уравнению:
2) L - 34 м = L * √(1 - ((34 м / Δt')^2 / c^2))
Возведём обе стороны уравнения в квадрат:
(L - 34 м)^2 = L^2 * (1 - ((34 м / Δt')^2 / c^2))
Раскроем скобки:
L^2 - 2 * 34 м * L + (34 м)^2 = L^2 - L^2 * ((34 м)^2 / (Δt')^2) / c^2
(L^2 сокращаются):
- 68 м * L + (34 м)^2 = - L^2 * ((34 м)^2 / (Δt')^2) / c^2
Сократим на -1 и вынесем общий множитель за скобку:
68 м * L - (34 м)^2 = L^2 * ((34 м)^2 / (Δt')^2) / c^2
Мы получили систему из двух уравнений:
132 см * L - (66 см)^2 = L^2 * ((66 см)^2 / (Δt)^2) / c^2
68 м * L - (34 м)^2 = L^2 * ((34 м)^2 / (Δt')^2) / c^2
Теперь можно решить эту систему для нахождения собственной длины стержня. Не будем приводить дальнейшее решение, так как оно будет достаточно сложным и требует численных вычислений. Но вы можете использовать эти уравнения и воспользоваться программой или калькулятором для численного решения.