На графике представлена зависимость силы тяжести, действующей на тело вблизи Земли, от массы тела. Радиус Земли 6400км, масса Земли 6∙1024 кг.
Гравитационная постоянная G=6,67∙10-11 Н м2 /кг2.
a) Найдите ускорение свободного падения в этой точке.
b) Вычислите, на каком расстоянии от центра Земли находится тело, если ускорение свободного падения равно значению из (а).
c) Во сколько раз ускорение на высоте от поверхности, равной трем радиусам Земли, меньше, чем на ее поверхности? Приведите доказательство своего ответа.
F = G * (m1 * m2) / r^2
где F - сила тяжести между двумя телами,
G - гравитационная постоянная,
m1 и m2 - массы тел,
r - расстояние между телами.
a) Для нахождения ускорения свободного падения в точке, нам нужно найти силу тяжести, действующую на единичную массу (1 кг). Подставляем в формулу значение массы Земли (6 * 10^24 кг) и расстояние радиуса Земли (6400 км = 6400000 м):
F = G * (m * m2) / r^2
F = 6,67 * 10^-11 Н * (1 кг) * (6 * 10^24 кг) / (6400000 м)^2
Выполняя расчет, получаем:
F = 9,81 Н
Ускорение свободного падения в этой точке составляет 9,81 м/с^2.
b) Для нахождения расстояния от центра Земли, на котором находится тело, используем ту же формулу:
F = G * (m * m2) / r^2
Теперь нас интересует значение расстояния r. Подставляем известные значения: массу тела (1 кг) и силу гравитации (9,81 Н):
9,81 Н = 6,67 * 10^-11 Н * (1 кг) * (6 * 10^24 кг) / r^2
Решаем уравнение для r:
r^2 = (6,67 * 10^-11 Н * (1 кг) * (6 * 10^24 кг)) / 9,81 Н
r^2 ≈ 4,39 * 10^6 м^2
r ≈ 6626 м
Тело находится на расстоянии приблизительно 6626 м от центра Земли.
c) Чтобы найти во сколько раз ускорение на высоте от поверхности, равной трем радиусам Земли, меньше, чем на ее поверхности, мы можем сравнить значения ускорений на этих двух точках.
Первоначально найдем расстояние от поверхности Земли, равное 3 радиусам Земли. У нас уже известно, что радиус Земли составляет 6400 км, а значит 3 радиуса Земли равны 3 * 6400 км = 19200 км = 19200000 м.
Теперь используем формулу силы тяжести, чтобы найти ускорение на данной высоте:
F = G * (m * m2) / r^2
F = 6,67 * 10^-11 Н * (1 кг) * (6 * 10^24 кг) / (19200000 м)^2
Выполняя расчет, получаем:
F ≈ 0,306 Н
Теперь сравним это значение с ускорением на поверхности Земли (9,81 м/с^2):
Отношение ускорения на высоте к ускорению на поверхности:
0,306 Н / 9,81 м/с^2 ≈ 0,031
Ускорение на высоте от поверхности, равной трем радиусам Земли, меньше примерно в 0,031 раза, чем на ее поверхности.
Доказательство этого ответа основывается на том, что ускорение свободного падения определяется силой тяжести и расстоянием от центра Земли. Как мы видим, с увеличением расстояния от поверхности Земли, сила гравитации и, следовательно, ускорение, уменьшается. Это можно доказать, подставив разные значения радиуса (например, радиус Земли и 3 радиуса Земли) в формулу силы тяжести и увидеть различие в значениях ускорения.