1. Ядро массой m, движущееся со скоростью υ = 0,6c, ударяет в такое же неподвижное ядро. Образуется новое составное ядро. Чему равна скорость составного ядра? Чему равна масса покоя составного ядра? 2. Груз на пружине совершает гармонические колебания, описываемые уравнением x(t) = 0,05cos(πt/3) (м). Какой путь пройдёт груз за 21 с от начала движения?
Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после столкновения должна быть одинаковой. Импульс (p) вычисляется как произведение массы (m) на скорость (v): p = mv.
Для первого ядра, имея его массу m и скорость v, мы можем найти его импульс (p1 = mv). Так как второе ядро неподвижно, ее скорость равна нулю, следовательно ее импульс равен нулю (p2 = 0).
По закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после столкновения должна быть одинаковой:
p1 + p2 = p3
mv + 0 = p3
p3 = mv
Таким образом, скорость составного ядра (v3) после столкновения будет равна скорости первого ядра до столкновения (v):
v3 = v = 0,6c
где с - скорость света в вакууме (около 3 * 10^8 м/с).
Чтобы найти массу покоя составного ядра, использование закона сохранения энергии поможет нам. Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии до и после столкновения должна быть одинаковой.
Исходя из этого, кинетическая энергия до и после столкновения одинакова:
(1/2)mv^2 = (1/2)mv3^2 + (1/2)m3^2c^2
где m3 - масса покоя составного ядра.
Подставим значение для v3 (0,6c) и решим уравнение относительно m3:
(1/2)mv^2 = (1/2)m(0,6c)^2 + (1/2)m3^2c^2
mv^2 = 0,36mc^2 + (1/2)m3^2c^2
Перенесем все в левую часть уравнения:
0 = 0,36mc^2 + (1/2)m3^2c^2 - mv^2
0 = 0,36mc^2 + (1/2)m3^2c^2 - (0,6c)^2m
0 = 0,36mc^2 + (1/2)m3^2c^2 - 0,36m^2c^2
0 = 0,36mc^2 + (1/2)m3^2c^2 - 0,36mc^2
0 = (1/2)m3^2c^2 - 0,36mc^2
Теперь решим получившееся квадратное уравнение относительно m3:
(1/2)m3^2c^2 - 0,36mc^2 = 0
(1/2)m3^2c^2 = 0,36mc^2
m3^2c^2 = 0,72mc^2
m3^2 = 0,72m
m3 = sqrt(0,72m)
Таким образом, масса покоя составного ядра (m3) равна квадратному корню из произведения 0,72 и массы первого ядра (sqrt(0,72m)).
2. Данное уравнение характеризует гармонические колебания груза на пружине. Чтобы найти путь, который прошел груз за 21 секунд, нам нужно найти значение x(t) при t = 21 секундах.
Подставим значение времени (t = 21) в уравнение x(t):
x(21) = 0,05cos((π * 21) / 3)
x(21) = 0,05cos(7π)
Мы знаем, что cos(π) = -1, поэтому можем записать:
x(21) = 0,05(-1)
x(21) = -0,05 м
Таким образом, груз пройдет -0,05 метра за 21 секунду от начала движения. Знак "-" означает, что груз движется в обратном направлении.