Радісний собака зустрічає хазяїна. Рівняння руху собаки та хазяїна має вигляд: x(1) = 12tx(1)=12t
і
x(2) = 800 - 2tx(2)=800−2t
. Охарактеризуйте: а) місце їхньої зустрічі та час, через який вона станеться; б) координату собаки та хазяїна через 10 с від початку
Потрібно знайти: х-?; t-?; S(10c)-?
а) Чтобы найти место и время их встречи, мы должны найти значения координаты и времени, когда координаты собаки и хозяина будут равны.
Из уравнений:
x(1) = 12t
x(2) = 800 - 2t
Для места встречи, значения координат собаки и хозяина должны быть одинаковыми, то есть:
x(1) = x(2)
Подставляем значения:
12t = 800 - 2t
Теперь решим это уравнение:
12t + 2t = 800
14t = 800
t = 800 / 14
t ≈ 57.14
Итак, место встречи произойдет через примерно 57.14 секунд.
Подставляем найденное значение времени обратно в уравнение для определения координаты места встречи:
x(1) = 12 * 57.14
x(1) ≈ 685.71
Ответ: Место их встречи будет на координате примерно 685.71, а время, через которое это произойдет, составит примерно 57.14 секунд.
б) Чтобы найти координату собаки и хозяина через 10 секунд, подставим значение времени в уравнения:
x(1) = 12 * 10
x(1) = 120
x(2) = 800 - 2 * 10
x(2) = 800 - 20
x(2) = 780
Ответ: Через 10 секунд собака будет на координате 120, а хозяин на координате 780.
в) Чтобы найти S(10с), сначала найдем скорость движения каждого из них.
Скорость собаки (v1) равна тангенсу угла наклона прямой для x(1):
v1 = tg(θ)
θ = arctg(12)
Скорость хозяина (v2) равна тангенсу угла наклона прямой для x(2):
v2 = tg(α)
α = arctg(-2)
Для нахождения траектории движения, мы должны найти первообразную (интеграл) скорости каждого из них и вычислить разницу значений этой первообразной от времени 0 до 10 секунд:
S(10с) = F(x(1)) - F(x(2)) | от 0 до 10
Для этого воспользуемся интегралом:
∫v1 dt = ∫(tg(θ)) dt
∫v2 dt = ∫(tg(α)) dt
Получим:
S(10с) = ∫ v1 dt - ∫ v2 dt | от 0 до 10
Вычислим каждый из интегралов:
∫(tg(θ)) dt = ln|sec(θ)| | от 0 до 10
∫(tg(α)) dt = ln|sec(α)| | от 0 до 10
Подставляем значения:
S(10с) = ln|sec(arctg(12))| - ln|sec(arctg(-2)) | от 0 до 10
Вычисляем значения:
S(10с) ≈ ln|√145| - ln|√5|
Ответ: Значение S(10с) примерно равно ln|√145| - ln|√5|.