Найти изменение внутренней энергии 2 м3 воздуха, если температура его понижается от t1 = 250 °С до t2 = 70 °С. Зависимость теплоемкости от температуры принять линейной. Начальное давление воздуха р1 = 6 бар. ответ дать в ккал. ответ U = –253,8 ккал.
ΔU = CΔT
где ΔU - изменение внутренней энергии, C - теплоемкость воздуха, ΔT - изменение температуры.
Зависимость теплоемкости от температуры задана как линейная, поэтому используем уравнение прямой:
C = a + bT
где a и b - коэффициенты прямой.
Теперь необходимо определить коэффициенты a и b. Для этого используем начальную и конечную температуры и теплоемкости. Подставим значения в уравнение прямой:
C1 = a + b*t1
C2 = a + b*t2
где C1 и C2 - теплоемкости при начальной и конечной температуре соответственно, t1 и t2 - начальная и конечная температуры.
Теперь найдем изменение внутренней энергии:
ΔU = (C2 - C1) * ΔT
Подставляем значения теплоемкостей и изменение температуры:
ΔU = (a + b*t2 - a - b*t1) * (t2 - t1)
Упрощаем и запишем полученное выражение:
ΔU = b*(t2 - t1) * (t2 - t1)
Теперь осталось найти значения коэффициентов a и b. Используем начальное давление воздуха и формулу Clapeyron:
C = Cp = R/M * (γ/γ-1) * (P/V)
где Cp - молярная теплоемкость постоянного давления, R - универсальная газовая постоянная, M - молярная масса вещества, γ - показатель адиабаты, P - давление, V - объем.
Так как мы ищем зависимость теплоемкости от температуры, а не от давления, то нужно преобразовать формулу Clapeyron:
C = Cp = R/M * (γ/γ-1) * (P/V) = R/M * (γ/γ-1) * (PV/MP) = R/M * (γ/γ-1) * (P1V1/M) = P1V1/(γ-1)
где P1 и V1 - начальное давление и объем соответственно.
Подставляем значения P1 и V1 и находим коэффициент a:
a = P1V1/(γ-1) = 6 бар * 2 м^3 / (1.4 - 1) = 12 бар м^3 / 0.4 = 30 бар м^3.
Теперь найдем коэффициент b. Для этого подставляем известные значения C1 и C2 и значения t1 и t2 в уравнения прямой:
C1 = a + b*t1
C2 = a + b*t2
Подставляем значения C1 и C2 и находим коэффициент b:
a + b*t1 = C1
a + b*t2 = C2
b*t1 = C1 - a
b*t2 = C2 - a
b = (C1 - a) / t1
b = (C2 - a) / t2
Подставляем значения C1, C2, a, t1 и t2:
b = (C1 - a) / t1
b = (C2 - a) / t2
b = (30 бар м^3 - 30 бар м^3) / (250 °С - 70 °С) = 0 бар м^3 / 180 °С = 0 бар м^3 / °С.
Теперь, когда у нас есть значения коэффициентов a и b, остается только найти изменение внутренней энергии:
ΔU = b*(t2 - t1) * (t2 - t1)
Подставляем значения b, t1 и t2:
ΔU = 0 бар м^3 / °С * (70 °С - 250 °С) * (70 °С - 250 °С) = 0 ккал.
Таким образом, ответ на задачу будет ΔU = -253,8 ккал.