Найдите изменение средней кинетической энергии одной молекулы идеального одноатомного газа, если при изобарном нагревании 5 молей этого газа им совершена работа 300 Дж. Постоянная Авогадро 6,02×1023 моль–1
Чтобы решить задачу, необходимо использовать формулу для работы $А$, совершенной над газом при его изобарном нагревании:
\[A = \Delta U = nC_v\Delta T,\]
где $A$ - совершенная работа, $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $n$ - количество молей газа, $C_v$ - молярная удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, $\Delta T$ - изменение температуры газа.
Средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа связана с его температурой $T$ следующей формулой:
\[E_{kin} = \frac{3}{2}kT,\]
где $E_{kin}$ - средняя кинетическая энергия одной молекулы газа, $k$ - постоянная Больцмана.
Для решения задачи нужно найти изменение температуры газа, а затем подставить его в формулу для средней кинетической энергии.
В данной задаче известна совершенная работа $A = 300\ Дж$ и количество молей газа $n = 5\ моль$. Нам также дана постоянная Авогадро $N_A = 6,02\times10^{23}\ моль^{-1}$.
Чтобы найти изменение температуры газа, мы можем использовать формулу:
\[\Delta T = \frac{A}{nC_v}\]
При этом нам нужно знать молярную удельную теплоемкость газа при постоянном объеме $C_v$. Одноватомный идеальный газ не имеет свободных степеней свободы вращения и поэтому $C_v = \frac{3}{2}R$, где $R$ - универсальная газовая постоянная.
Универсальная газовая постоянная, в свою очередь, связана с постоянной Авогадро $N_A$ следующим образом: $R = kN_A$.
С помощью данных, которые нам даны, мы можем найти $R$:
\[A = \Delta U = nC_v\Delta T,\]
где $A$ - совершенная работа, $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $n$ - количество молей газа, $C_v$ - молярная удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, $\Delta T$ - изменение температуры газа.
Средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа связана с его температурой $T$ следующей формулой:
\[E_{kin} = \frac{3}{2}kT,\]
где $E_{kin}$ - средняя кинетическая энергия одной молекулы газа, $k$ - постоянная Больцмана.
Для решения задачи нужно найти изменение температуры газа, а затем подставить его в формулу для средней кинетической энергии.
В данной задаче известна совершенная работа $A = 300\ Дж$ и количество молей газа $n = 5\ моль$. Нам также дана постоянная Авогадро $N_A = 6,02\times10^{23}\ моль^{-1}$.
Чтобы найти изменение температуры газа, мы можем использовать формулу:
\[\Delta T = \frac{A}{nC_v}\]
При этом нам нужно знать молярную удельную теплоемкость газа при постоянном объеме $C_v$. Одноватомный идеальный газ не имеет свободных степеней свободы вращения и поэтому $C_v = \frac{3}{2}R$, где $R$ - универсальная газовая постоянная.
Универсальная газовая постоянная, в свою очередь, связана с постоянной Авогадро $N_A$ следующим образом: $R = kN_A$.
С помощью данных, которые нам даны, мы можем найти $R$:
\[R = kN_A = (1,38 \times 10^{-23}\ Дж/К)\times(6,02 \times 10^{23}\ моль^{-1}) = 8,31\ Дж/К.\]
Теперь мы можем найти изменение температуры газа:
\[\Delta T = \frac{A}{nC_v} = \frac{300 Дж}{5 моль \times \frac{3}{2} R} = \frac{300 Дж}{5 моль \times \frac{3}{2} \times 8,31 Дж/К}.\]
Выполняя рассчеты, получим:
\[\Delta T \approx \frac{300}{5 \times \frac{3}{2} \times 8,31} \approx \frac{300}{5 \times 4,96} \approx \frac{300}{24,8} \approx 12,1 К.\]
Теперь мы можем рассчитать изменение средней кинетической энергии одной молекулы газа. Подставляя значения в формулу:
\[E_{kin} = \frac{3}{2}k\Delta T = \frac{3}{2} \times 1,38 \times 10^{-23} Дж/К \times 12,1 К.\]
Выполняя рассчеты, получим:
\[E_{kin} \approx \frac{3}{2} \times 1,38 \times 10^{-23} Дж/К \times 12,1 К \approx 3,18 \times 10^{-22} Дж.\]
Таким образом, изменение средней кинетической энергии одной молекулы идеального одноатомного газа составляет примерно $3,18 \times 10^{-22}$ Дж.