1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид : x = t(2)
3 – 9t(2)+ 24t (м) . Найти:
1) путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 1 c до t 2 = 4 с ;
2) среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток;
3) скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с .
1) Для нахождения пути и перемещения точки за данный промежуток времени, мы должны вычислить интеграл от скорости точки по времени на этом промежутке.
Изначально, у нас дано уравнение движения точки по прямой: x = t^3 – 9t^2+ 24t (м).
Чтобы найти скорость точки, мы должны найти производную от этого уравнения по времени:
v = dx/dt = d/dt (t^3 – 9t^2+ 24t) = 3t^2 – 18t + 24 (м/с).
Теперь мы можем вычислить путь точки, интегрируя скорость по времени на заданном промежутке:
S = ∫[t1,t2] v dt = ∫[1,4] (3t^2 – 18t + 24) dt.
Выполняя интегрирование, получим:
S = [t^3 – 9t^2+ 24t] [1,4] = [(4^3 – 9(4)^2+ 24(4)) – (1^3 – 9(1)^2+ 24(1))].
Вычислив это выражение, получим путь точки за данный промежуток времени.
Для нахождения перемещения точки за данный промежуток времени, нам необходимо вычислить разность координатых значений точки в конечный и начальный момент времени. То есть:
Δx = x(t2) – x(t1).
Подставляем значения t1 = 1 и t2 = 4 в уравнение движения:
x(t1) = 1^3 – 9(1)^2+ 24(1).
x(t2) = 4^3 – 9(4)^2+ 24(4).
Вычисляем эти значения и находим разность, чтобы получить перемещение точки.
2) Средняя скорость можно найти, разделив перемещение точки на промежуток времени:
Средняя скорость = перемещение / промежуток времени.
3) Для определения скорости точки в заданный момент времени, необходимо подставить значение t = 2 в выражение для скорости, которую мы уже нашли в первом пункте:
v(t = 2) = 3(2)^2 – 18(2) + 24.
Вычисляя это выражение, мы найдем скорость точки в момент времени t = 2 с.
По аналогии, ускорение точки в момент времени t = 2 с можно найти, взяв производную от скорости в данном моменте времени.
a(t = 2) = dv/dt = d/dt (3t^2 – 18t + 24).
Вычисляя это выражение, мы получим ускорение точки в момент времени t = 2 с.
Вот подробное и пошаговое решение вашей задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!