Электрическая лампа с вольфрамовой нитью рассчитана на напряжение U = 220 B и потребляет в рабочем режиме мощность P = 100 Вт. Сопротивление отключенной от сети лампы при температуре 0 °С равно Ro = 40 Ом. Найдите температуру t нити лампы в рабочем режиме, если температурный коэффициент сопротивления вольфрама α = 4,1 × 10−3 К −1 . Изменением длины нити при нагреве пренебречь.
Для начала, нам нужно найти сопротивление нити лампы при рабочей температуре. Для этого воспользуемся формулой для изменения сопротивления с изменением температуры:
R = Ro * (1 + α * Δt),
где R - сопротивление при измененной температуре, Ro - сопротивление при исходной температуре (0 °C), α - температурный коэффициент сопротивления вольфрама, Δt - разница в температурах.
Мы хотим найти температуру t нити лампы в рабочем режиме, поэтому Δt будет равно t - 0. Подставим известные значения в формулу:
R = 40 Ом * (1 + 4,1 × 10−3 К −1 * t),
Мы знаем, что мощность P лампы равна 100 Вт. В рабочем режиме лампы справедливо уравнение мощности:
P = U^2 / R,
где P - мощность, U - напряжение, R - сопротивление.
Подставим известные значения и найденное выражение для сопротивления:
100 Вт = (220 В) ^2 / (40 Ом * (1 + 4,1 × 10−3 К −1 * t)),
Представим это уравнение в виде:
100 Вт * 40 Ом * (1 + 4,1 × 10−3 К −1 * t) = (220 В) ^2,
Раскроем скобки:
4000 Вт * (1 + 4,1 × 10−3 К −1 * t) = 48400 В^2,
Разделим обе части на 4000 Вт:
1 + 4,1 × 10−3 К −1 * t = 12,1 В^2 / Вт,
Вычтем 1 из обеих частей и выразим t:
4,1 × 10−3 К −1 * t = 12,1 В^2 / Вт - 1,
4,1 × 10−3 К −1 * t = 11,1 В^2 / Вт,
t = (11,1 В^2 / Вт) / (4,1 × 10−3 К −1).
Теперь осталось только произвести вычисления:
t = 11,1 В^2 / (4,1 × 10−3 К −1) = 11,1 В^2 * (1 / (4,1 × 10−3 К −1)) = 11,1 В^2 * 243,9 К = 2708,29 К.
Таким образом, температура нити лампы в рабочем режиме составляет 2708,29 К или примерно 2435,14 °C.