На расстоянии f= 42 см от линзы до находится экран, на котором получено изображение в 2,5 раз(-а) большее, чем предмет. На каком расстоянии от линзы находится предмет, и чему равно фокусное расстояние этой линзы?
ответ (округли до целых):
расстояние между предметом и линзой
1/f = 1/d₀ + 1/d₁,
где f - фокусное расстояние линзы, d₀ - расстояние от предмета до линзы, d₁ - расстояние от линзы до изображения.
Из условия задачи мы знаем, что d₁ = f + 42 см и d₀/d₁ = 2,5. Подставим эти значения в формулу:
1/f = 1/(2,5d₀) + 1/(f + 42).
Умножим обе части уравнения на f(2,5d₀)(f + 42), чтобы избавиться от знаменателей:
f(2,5d₀)(f + 42) = (2,5d₀)(f + 42) + 2,5d₀f.
Раскроем скобки:
2,5f(d₀² + 42d₀) = 2,5d₀f + 2,5d₀f + f(2,5d₀).
Упростим уравнение:
2,5f(d₀² + 42d₀) = 5f(d₀ + 42).
Разделим обе части уравнения на f и 5(d₀ + 42):
2,5(d₀² + 42d₀) = d₀ + 42.
Раскроем скобки:
2,5d₀² + 105d₀ = d₀ + 42.
Получим квадратное уравнение:
2,5d₀² + 104d₀ - 42 = 0.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b² - 4ac = 104² - 4(2,5)(-42) = 10816 + 420 = 11236,
где a = 2,5, b = 104, c = -42.
Так как D > 0, у нас есть два различных корня:
d₀₁ = (-b + √D) / (2a) = (-104 + √11236) / (2 * 2,5) ≈ 0,74 см,
d₀₂ = (-b - √D) / (2a) = (-104 - √11236) / (2 * 2,5) ≈ -27,74 см.
Так как расстояние d₀ не может быть отрицательным, выбираем положительный корень d₀₁ ≈ 0,74 см.
Теперь, чтобы найти фокусное расстояние f, подставим значение d₀ в одно из уравнений:
f = (d₀₁d₁) / (d₀₁ + d₁) = (0,74 * 42) / (0,74 + 42) ≈ 0,724 см.
Ответ: Расстояние между предметом и линзой составляет примерно 0,74 см, а фокусное расстояние этой линзы примерно 0,724 см.