1)точка движется по плоскости в соответствии с уравнениями x = acoswt, y = bsinwt. какой угол u с осью х составляет вектор ускорения точки в момент времени т/2?
2)на тонком изолирующем стержне закреплены заряды
q1=-2 μкл и q2=1 μкл. расстояние d=10 см.
вдоль стержня без трения может перемещаться бусинка
с положительным зарядом q (см. на каком
расстоянии от заряда q2 остановится бусинка
Для начала найдем выражение для вектора ускорения. Ускорение - это вторая производная координаты по времени.
x = acos(wt)
dx/dt = -awsin(wt)
d^2x/dt^2 = -aw^2cos(wt)
y = bsin(wt)
dy/dt = bwcos(wt)
d^2y/dt^2 = -bw^2sin(wt)
Теперь найдем проекции ускорения на оси x и y.
Ax = -aw^2cos(wt)
Ay = -bw^2sin(wt)
Угол u между вектором ускорения и осью x можно найти, используя тангенс угла u:
tan(u) = Ay/Ax
tan(u) = (-bw^2sin(wt)) / (-aw^2cos(wt))
Сокращаем минусы и w^2:
tan(u) = (bw*sin(wt)) / (aw*cos(wt))
tan(u) = (b/a)*(sin(wt) / cos(wt))
Используем тригонометрическую формулу:
tan(u) = (b/a)*tan(wt)
Теперь найдем угол u. Для этого возьмем арктангенс от обеих частей уравнения:
u = arctan((b/a)*tan(wt))
Чтобы найти угол u в момент времени t/2, подставим t = t/2:
u = arctan((b/a)*tan(wt/2))
2) Чтобы найти на каком расстоянии от заряда q2 остановится бусинка, нужно уравновесить силу электростатического притяжения и силу натяжения стержня.
Сила электростатического взаимодействия:
F(q1, q) = k*q1*q / d^2
Сила натяжения стержня:
F(tension) = T
Когда бусинка находится в равновесии, силы F(q1, q) и F(tension) равны по модулю и противоположно направлены:
|F(q1, q)| = |F(tension)|
k*q1*q / d^2 = T
T = k*q1*q / d^2
Теперь подставим значения:
T = (9*10^9 N*m^2/C^2) * (-2*10^-6 C) * (q) / (0.1 m)^2
T = (-18*10^-6*q) / 0.01
Так как сила натяжения T положительная (в направлении заряда q1), то заряд q должен быть положительным.