За время t = 100 с тело совершает n = 100 колебаний. за это же время амплитуда колебаний уменьшилась в 2.718 раза. определить коэффициент загасания колебаний, логарифмический декремент загасания, добротность системы, относительное уменьшение энергии e/e за период колебаний
A = A₀ * e^(-δt),
где A₀ - начальная амплитуда колебаний, δ - коэффициент загасания, t - время.
Из условия задачи, за время t = 100 с тело совершает n = 100 колебаний. Это значит, что время одного колебания (период) T = t/n = 100/100 = 1 с.
Также из условия задачи известно, что за время t амплитуда колебаний уменьшилась в 2.718 раза. Это означает, что отношение начальной амплитуды A₀ к текущей амплитуде A равно 2.718:
A₀/A = 2.718.
Теперь воспользуемся этими данными для определения коэффициента загасания δ.
Выразим начальную амплитуду A₀ через текущую амплитуду A:
A₀ = A * 2.718.
Подставим данное значение A₀ в формулу для амплитуды колебаний:
A = A₀ * e^(-δt) = A * 2.718 * e^(-δt).
Сократим на A:
1 = 2.718 * e^(-δt).
Теперь решим уравнение относительно e^(-δt):
e^(-δt) = 1/2.718 = 0.3679.
Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
-δt = ln(0.3679).
Решим уравнение относительно коэффициента загасания δ:
δ = -ln(0.3679)/t = 0.9987/t.
Теперь перейдем к определению логарифмического декремента загасания:
Δ = δT.
Подставим значения δ и T:
Δ = 0.9987 * 1 = 0.9987.
Таким образом, логарифмический декремент загасания Δ равен 0.9987.
Перейдем к определению добротности системы:
Q = π/(2Δ).
Подставим значение Δ:
Q = π/(2 * 0.9987).
Таким образом, добротность системы Q равна π/(2 * 0.9987).
Наконец, определим относительное уменьшение энергии за период колебаний:
Δe/e = e^(-Δ) = e^(-0.9987).
Таким образом, относительное уменьшение энергии Δe/e за период колебаний равно e^(-0.9987).