Буровая установка приводится в движение двумя большими, зацепленными друг за друга зубчатыми колёсами на неподвижных осях, имеющими форму тонких обручей радиусов r1 и r2. массы колёс - m1 и m2 соответственно, причём массой, в спицах и осях колёс можно пренебречь. чтобы раскрутить колёса (без в движение других частей установки) пришлось совершить работу a. найдите угловую скорость ω вращения первого колеса.
дайте ответ для r1 = 1.0 м, r2 = 4.0 м, m1 = 320.0 кг, m2 = 800.0 кг, a = 30.0 кдж в 1/с с точностью до десятых
ω₁ = 7,3 рад/с
Объяснение:
Дано:
R₁ = 1,0 м
R₂ = 4,0 м
m₁ = 320 кг
m₂ = 800 кг
A = 30 кДж = 30 000 Дж
___________
ω₁ - ?
1)
Поскольку колеса находятся в зацеплении, то линейная скорость точки А равна
V = V₁ = V₂
V₁ = ω₁·R₁ (1)
V₂ = ω₂·R₂ (2)
Приравняем (2) и (1)
ω₂·R₂ = ω₁·R₁
ω₂ = ω₁·(R₁/R₂) = (1,0/4,0)·ω₁ = 0,25·ω₁
2)
Считаем зубчатые колеса тонкими обручами найдем их моменты инерции:
J₁ = m₁·R₁² = 320·1² = 320 кг·м²
J₂ = m₂·R₂² = 800·4² = 12 800 кг·м²
3)
Кинетические энергии колес:
T₁ = J₁·ω₁²/2 = 320·ω₁²/2 = 160·ω₁²
T₂ = J₂·ω₂²/2 = 12 800·(0,25·ω₁)² /2 = 400·ω₁²
Суммарная кинетическая энергия:
T = T₁+T₂ = 160·ω₁² + 400·ω₁² = 560·ω₁²
4)
По закону сохранения энергии:
T = A
560·ω₁² = 30 000
ω₁ = √ (30 000 / 560) ≈ 7,3 рад/с