Полезность потребителя двух товаров, приобретаемых в количествах X и Y соответственно,
определяется функцией U (X: Y) = 6x + 5y.
Известно, что доход потребителя равен 600 ден. ед.,
цены на покупаемые товары соответственно
15 ден. ед. и 12 ден. ед.
Так же известно, что на рынок поступает не более 32
единиц товара первого вида и не более 40 единиц
товара второго вида. Определить максимальную
полезность, которую может получить потребитель в
результате приобретения этих товаров.
1. Начнем с формулировки оптимизационной задачи:
Максимизируемая функция (целевая функция): U(X, Y) = 6X + 5Y
При ограничениях:
Доход потребителя: 15X + 12Y = 600
Ограничения на количество товаров: X ≤ 32 и Y ≤ 40
2. Воспользуемся методом Лагранжа для поиска максимума функции U(X, Y) с данными ограничениями:
Составим функцию Лагранжа L(X, Y, λ): L(X, Y, λ) = U(X, Y) + λ(15X + 12Y - 600)
Где λ - множитель Лагранжа (множитель для ограничений)
3. Продифференцируем функцию Лагранжа по переменным X, Y и λ:
∂L/∂X = 6 + 15λ
∂L/∂Y = 5 + 12λ
∂L/∂λ = 15X + 12Y - 600
4. Приравняем производные к нулю и решим систему уравнений:
6 + 15λ = 0 (уравнение 1)
5 + 12λ = 0 (уравнение 2)
15X + 12Y - 600 = 0 (уравнение 3)
5. Решим систему уравнений (уравнение 1 и 2):
6 + 15λ = 0
15λ = -6
λ = -6/15 = -2/5
5 + 12λ = 0
12λ = -5
λ = -5/12
Мы получили два значения λ, но выберем λ = -2/5, так как λ = -5/12 не позволяет нам получить максимальную полезность.
6. Подставим найденное значение λ = -2/5 в уравнение 3 и решим его относительно X и Y:
15X + 12Y - 600 = 0
15X + 12Y = 600
15X + 12Y = 15*(-2/5)*X + 12*(-2/5)*Y
15X + 12Y = -6X - 4.8Y
21X + 16.8Y = 0
X = -(16.8Y)/21
7. Подставим найденное значение X в уравнение дохода потребителя и решим его относительно Y:
15X + 12Y = 600
15*(-16.8Y)/21 + 12Y = 600
-12.8Y + 12Y = 600
-0.8Y = 600
Y = -600/0.8
Y = -750
Получили отрицательное значение Y, но заметим, что в ограничении на количество товаров Y ≤ 40. Поэтому ограничим Y максимально возможным значением 40.
8. Подставим найденное значение Y = 40 в уравнение X = -(16.8Y)/21:
X = -(16.8*40)/21
X = -672/21
X = -32
Теперь у нас есть значения X = -32 и Y = 40.
9. Проверим полученные значения на соответствие ограничениям:
X ≤ 32:
-32 ≤ 32 - условие выполняется
Y ≤ 40:
40 ≤ 40 - условие выполняется
Оба значения X и Y удовлетворяют ограничениям.
10. Подставим найденные значения X = -32 и Y = 40 в функцию полезности U(X, Y) = 6X + 5Y:
U(-32, 40) = 6*(-32) + 5*40
= -192 + 200
= 8
Максимальная полезность, которую может получить потребитель, составляет 8.
Итак, максимальная полезность, которую может получить потребитель в результате приобретения указанных товаров, равна 8.