Гражданин Иванов И.И. свой совокупный доход в размере 240 руб. тратит на приобретение картофеля и других продуктов питания. Определите оптимальный набор потребителя Иванова, если цена картофеля 2 руб. за 1 кг, а стоимость условной единицы других благ – 6 руб. за единицу. Функция полезности Иванова имеет вид U(xкар, хдр)= x кар ×х др
1. Бюджетное ограничение:
Совокупный доход Иванова составляет 240 рублей, и он тратит его на картофель и другие продукты питания. Таким образом, мы можем записать уравнение бюджетного ограничения следующим образом:
2xкар + 6xдр = 240,
где xкар - количество картофеля в кг, xдр - количество других продуктов питания в условных единицах.
2. Функция полезности:
По условию, функция полезности Иванова имеет вид U(xкар, xдр) = xкар * xдр.
3. Условие максимизации полезности:
Находится такой набор (xкар, xдр), который максимизирует функцию полезности U(xкар, xдр) = xкар * xдр при бюджетном ограничении 2xкар + 6xдр = 240.
Теперь выполним пошаговое решение задачи:
1. Решим уравнение бюджетного ограничения:
2xкар + 6xдр = 240.
Выразим xкар через xдр:
xкар = (240 - 6xдр) / 2.
2. Подставим это значение xкар в функцию полезности:
U(xдр) = xкар * xдр = ((240 - 6xдр) / 2) * xдр = (120 - 3xдр) * xдр.
3. Найдем производную функции полезности по xдр:
dU(xдр) / dxдр = 120 - 6xдр.
4. Найдем точку максимума функции полезности, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
120 - 6xдр = 0.
6xдр = 120.
xдр = 20.
5. Найдем значение xкар, подставив найденное значение xдр в уравнение бюджетного ограничения:
xкар = (240 - 6xдр) / 2 = (240 - 6*20) / 2 = 180 / 2 = 90.
Ответ: Оптимальный набор потребителя Иванова состоит из 90 кг картофеля и 20 условных единиц других продуктов питания. В этом случае Иванов максимизирует свою полезность при заданном бюджетном ограничении.