Почему восточные и западные христиане соперничали за право крестить народы Восточной Европы?

Потому что в зависимости от того, восточное или западное христианство принимал народ, его церковь подчинялась римскому или константинопольскому первосвященнику. А в то время это означало политическое влияние, а также деньги (сбор десятины).