Объясните, почему слова «право», «правда», «правильный» являются родственными.

Они имеют корень "прав" и происходят от слова "право", что значит "норма". Эти слова происходят от праславянского «правъ», что означало стоящий на позициях истины, справедливый, правильный, невиноватый, прямой (искренний).
Право — основное понятие юриспруденции, один из видов регуляторов общественных отношений; система общеобязательных, формально-определённых, гарантированных государством правил поведения.
Конкретное определение права зависит от типа правопонимания, которого придерживается тот или иной учёный (то есть его представлений о праве). В то же время определения различных школ позволяют наиболее полно представить право. Поэтому для развития правовой науки особенно важен плюрализм, которого не всегда удаётся добиться в силу традиционной близости этой отрасли знаний к государственной власти.
Правда – То, что существует в действительности, соответствует реальному положению вещей. Справедливость, честность, правое дело.
Правильный — являющийся таким, каким и должен быть в соответствии с логическими, этическими или иными правилами, законами, принципами и т.п. В частности, логическая правильность представляет собой соответствие законам и правилам логики.