На доске написаны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум прибавить по 1. Можно ли, проделав эту операцию несколько раз, сделать все числа равными?

Сумма исходных чисел равна 21, то есть является числом нечётным. При каждой операции она возрастает на 2, то есть остаётся нечётной. Значит, все числа не могут стать равными, так как в этом случае сумма их будет чётной.